2017/04/17(月)bash on Ubuntu on Windowsで遊んでみる (Creators Update編)

bash on ubuntu on windowsで遊んでみるの記事で、bash on Ubuntu on Windowsの紹介をしましたが、それがこの4月のWindows 10 Creators Updateで大きく改善したとのことで、再度入れて遊んでみました。

前回(Anniversary Update時)との差分は、
  • ubuntuのバージョンが14.04から16.04になった。
  • ターミナルが改善し、日本語が文字化けせずきちんと扱えるようになった。WindowsのIMEでの日本語入力も可能に。
  • ubuntuからwindows内のコマンドを呼び出したり、windowsからubuntu内のコマンドを呼び出したりできるようになった。
  • ifconfigやpingなどのネットーワーク系のコマンドが動作するようになった。
あたりのようです。

条件はWindows10の64bitで、Creators Updateになっていることです。「スタート→歯車アイコン→システム→バージョン情報」で
version1703.png

のようにバージョンが1703になっていればCreators Updateになっています。まだだった場合でも強制的にアップデートすることもできます。

インストール方法は前回とほとんど変わっていませんが一応書いておきます。
  • 「設定→アプリ→プログラムと機能→Windowsの機能の有効化または無効化」で、「Windows Subsysyem for Linux (Beta)」をチェックする。再起動。
    check-wsl.png

  • 「スタート→歯車アイコン→更新とセキュリティ→開発者向け」で、「開発者モードを使う」を、「サイドロードアプリ」から「開発者モード」に変更。再起動。
    devel-mode.png

  • 「スタートを右クリック→Windows PowerShell(管理者)」でPower Shellを起動し、bashとタイプ。"y"でダウンロードとインストールが始まります。数分かかります。ユーザIDとパスワードを聞かれてインストール完了。ここで入れたパスワードは"sudo"実行時に使います。
    install.png

  • 次回以降は、スタートメニューに「Bash on Ubuntu on Windows」が登録されているのでそこから起動できます。
    startmenu.png

なお、前回のAnniversary Update時にbash on Ubuntu on Windowsを入れていた場合は、自動で新しいものにアップデートされることはない模様です。必要なファイルがあればバックアップした上で、いったんPower Shell(管理者)で
lxrun /uninstall /full
で全削除し、「bashとタイプ」のところからやりなおすのが確実です。
uninstall.png

使い方は、前回のAnniversary Updateのときとほとんど変わっていません。日本語が文字化けしなくなり、またターミナルからwindowsのIMEを使って日本語入力ができるようになったので、ちょっとしたプログラミングの演習程度ならこのままで十分に使えるようになりました。

また、X serverをwindowsに入れてGUIを使うソフトウェアを動かすこともできます。bash on ubuntu on windowsで遊んでみるの記事で紹介した
  • gnuplot
  • firefox
  • lxterminal
  • Xアプリでの日本語入力
  • tex
など試してみましたが全て同じように動作しました。安定度はずっと高まっているように感じました。

2017/03/21(火)Henon mapで遊んでみた

先週宮古島でINVA2017という研究集会に行ってました。有名なTucker先生をお呼びして講演をしていただいたのですが、Hénon(エノン)mapに関する講演で、面白そうな話だったので講演中いろいろ計算して遊んでいました。

Hénon mapは、
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + y_n - a x_n^2 \\ b x_n \end{pmatrix}
みたいな漸化式で定義される2次元離散力学系です。a,bの値によってはカオスになることで有名な力学系で、a=1.4、b=0.3がカオスになる有名な値です。その値を使って(x,y)=(0,0)から10000点計算してxy平面にプロットしてみると、

henong.png


のような図形が得られました。

さて、適当な点から出発してn回反復したとき元の点に戻るような軌道をn周期解と言います。周期解には、一度その軌道に入ったらずっとそこから出ない安定な周期解と、わずかな摂動で軌道から外れてしまう不安定な周期解があります。一般にカオスになるときは不安定な周期解しか無いのが普通ですが、よく使われるa=1.4, b=0.3でなく、そこからわずかに値を変化させると安定な周期解が現れることが知られていて、そのような安定な周期解をどうやって探索するか、が講演の内容でした(多分)。

で、とりあえずkvライブラリを使って周期解の探索をしてみよう、というのが以下の内容です。とりあえずa=1.4, b=0.3で、(x,y)の探索範囲は、この論文にあった式
r = \frac{1+|b|+\sqrt{(1+|b|)^2+4a}}{2}
を使って(x,y)\in([-r,r],[-r,r])で探索することにしました。

n回反復する写像の不動点を全解探索するプログラムを素直に書くと、
#include <kv/allsol.hpp>

namespace ub = boost::numeric::ublas;

template <class TT>
struct Henon {
	TT a, b;
	Henon(TT a, TT b) : a(a), b(b) {}
	template <class T> ub::vector<T> operator() (const ub::vector<T>& x){
		ub::vector<T> r(2);

		r(0) = 1 + x(1) - a * x(0) * x(0);
		r(1) = b * x(0);

		return r;
	}
};

template <class F>
struct Repeat_n {
	F f;
	int n;
	Repeat_n(F f, int n): f(f), n(n) {}
	template <class T> ub::vector<T> operator() (const ub::vector<T>& x){
		int i;
		ub::vector<T> tmp;

		tmp = x;
		for (i=0; i<n; i++) tmp = f(tmp);
		return tmp;
	}
};

template <class F>
struct FixedPoint {
	F f;
	FixedPoint(F f): f(f) {}
	template <class T> T operator() (const T& x){
		return f(x) - x;
	}
};

typedef kv::interval<double> itv;

int main()
{
	int i, n;
	ub::vector<itv> x;
	itv a, b;
	itv::base_type r;

	std::cout.precision(17);

	a = "1.4";
	b = "0.3";
	n = 4;

	Henon<itv> f(a, b);
	Repeat_n< Henon<itv> > g(f, n);
	FixedPoint< Repeat_n< Henon<itv> > > h(g);

	r = ((1+abs(b)+sqrt(pow(1+abs(b), 2)+4*a))/2).upper();

	x.resize(2);
	x(0) = itv(-r, r);
	x(1) = itv(-r, r);

	kv::allsol(h, x);
}
のようになりました(henon0.zip)。関数オブジェクトを使っていて、fがHénon写像、gがそれをn回繰り返したもの、hが不動点形式(g(x)-x)です。このプログラムをnを変えながら実行してみます。n=1では、
([-1.1313544770895053,-1.131354477089504],[-0.33940634312685164,-0.33940634312685119])
([0.63135447708950442,0.63135447708950499],[0.18940634312685131,0.18940634312685154])
の2つの1周期解(要するに不動点)が得られました。n=2にすると、
([-0.47580005117505659,-0.47580005117505597],[0.29274001535251664,0.29274001535251721])
([0.97580005117505597,0.97580005117505653],[-0.14274001535251713,-0.14274001535251665])
([0.63135447708950431,0.6313544770895051],[0.18940634312685117,0.18940634312685171])
([-1.1313544770895053,-1.131354477089504],[-0.33940634312685198,-0.33940634312685086])
の4つの解が得られましたが、よく見るとそのうち2つは先程得られた不動点です。更に、残りの2つの解も実質同じ軌道(p→q→pが2周期解ならq→p→qも当然2周期解)なので、2周期解は実質1つだけということが分かります。n=3だと、
([-1.1313544770895053,-1.131354477089504],[-0.33940634312685298,-0.33940634312684986])
([0.6313544770895042,0.63135447708950521],[0.18940634312685095,0.18940634312685187])
が得られますが、これは不動点なので、3周期解は存在しないことが分かりました。n=4の結果を示すと、
([0.63135447708950431,0.6313544770895051],[0.18940634312685045,0.1894063431268524])
([0.63819399262715537,0.63819399262715638],[-0.21203003316582356,-0.2120300331658213])
([-0.70676677721940862,-0.70676677721940761],[0.33752098096070709,0.33752098096070832])
([0.2177617657186289,0.21776176571863363],[0.19145819778814535,0.19145819778814813])
([-0.47580005117505797,-0.47580005117505475],[0.2927400153525157,0.29274001535251815])
([-1.1313544770895064,-1.1313544770895032],[-0.33940634312685631,-0.33940634312684653])
([0.97580005117505508,0.97580005117505731],[-0.14274001535251838,-0.1427400153525154])
([1.1250699365356913,1.1250699365356934],[0.065328529715587863,0.065328529715590903])
と8つの解が得られますが、2つは不動点、2つは2周期解で、4周期解は位相をずらした4つが得られるので実質1つの4周期解があることが分かります。

さて、このように人間の目で選り分けるのは大変なので、より短い周期解の繰り返しや位相がずれただけのものを排除する部分を付け加えて見ました。ついでに、その周期解の安定性をその写像の解のところでのヤコビ行列を計算しその固有値の絶対値の最大値を調べることによって判定する部分も付けてみました。
#include <kv/allsol.hpp>
#include <kv/eig.hpp>

namespace ub = boost::numeric::ublas;

template <class TT>
struct Henon {
	TT a, b;
	Henon(TT a, TT b) : a(a), b(b) {}
	template <class T> ub::vector<T> operator() (const ub::vector<T>& x){
		ub::vector<T> r(2);

		r(0) = 1 + x(1) - a * x(0) * x(0);
		r(1) = b * x(0);

		return r;
	}
};

template <class F>
struct Repeat_n {
	F f;
	int n;
	Repeat_n(F f, int n): f(f), n(n) {}
	template <class T> ub::vector<T> operator() (const ub::vector<T>& x){
		int i;
		ub::vector<T> tmp;

		tmp = x;
		for (i=0; i<n; i++) tmp = f(tmp);
		return tmp;
	}
};

template <class F>
struct FixedPoint {
	F f;
	FixedPoint(F f): f(f) {}
	template <class T> T operator() (const T& x){
		return f(x) - x;
	}
};

typedef kv::interval<double> itv;

int main()
{
	int i, n;
	std::list< ub::vector<itv> > result, result2;
	std::list< ub::vector<itv> >::iterator p, p2;
	ub::vector<itv> x, x2;
	bool flag;
	itv a, b;
	itv::base_type r;

	std::cout.precision(17);

	a = "1.4";
	b = "0.3";
	n = 4;

	Henon<itv> f(a, b);
	Repeat_n< Henon<itv> > g(f, n);
	FixedPoint< Repeat_n< Henon<itv> > > h(g);

	r = ((1+abs(b)+sqrt(pow(1+abs(b), 2)+4*a))/2).upper();

	x.resize(2);
	x(0) = itv(-r, r);
	x(1) = itv(-r, r);

	result = kv::allsol(h, x);

	p = result.begin();
	while (p != result.end()) {
		x = *p;
		flag = true;
		x2 = x;
		for (i=0; i<n-1; i++) {
			x2 = f(x2);
			// check the solution is truly n-pediodic or not
			if (overlap(x, x2)) {
				flag = false;
				break;
			}
			// check the solution is new or not
			p2 = result2.begin();
			while (p2 != result2.end()) {
				if (overlap(*p2, x2)) {
					flag = false;
					break;
				}
				p2++;
			}
			if (flag == false){
				break;
			}
		}

		if (flag) {
			result2.push_back(x);
			std::cout << "true pediodic soluion " << result2.size() << "\n";
			x2 = x;
			for (i=0; i<n; i++) {
				std::cout << x2 << "\n";
				x2 = f(x2);
			}
			std::cout << "\n";

			// calculate maximum eigenvalue of Jacobian
			ub::vector<itv> v1;
			ub::vector< kv::complex<itv> > l;
			itv lm, tmp;
			ub::matrix<itv> m1;
			kv::autodif<itv>::split(g(kv::autodif<itv>::init(x)), v1, m1);
			kv::veig(m1, l);
			std::cout << l << "\n";
			lm = 0;
			for (i=0; i<2; i++) {
				tmp = abs(l(i));
				lm.lower() = std::max(lm.lower(), tmp.lower());
				lm.upper() = std::max(lm.upper(), tmp.upper());
			}
			std::cout << lm << "\n";
			if (lm < 1) {
				std::cout << "stable\n";
			} else if (lm > 1) {
				std::cout << "unstable\n";
			} else {
				std::cout << "stability unknown\n";
			}
		}
		p++;
	}
}
(henon1.zip) これで調べた周期解とその安定性は次のとおりです。
nxy安定性
1[-1.1313544770895053,-1.131354477089504][-0.33940634312685164,-0.33940634312685119]unstable
1[0.63135447708950442,0.63135447708950499][0.18940634312685131,0.18940634312685154]unstable
2[-0.47580005117505659,-0.47580005117505597][0.29274001535251664,0.29274001535251721]unstable
4[0.63819399262715537,0.63819399262715638][-0.21203003316582356,-0.2120300331658213]unstable
6[0.44190995135922078,0.44190995135922451][-0.24126597029523553,-0.24126597029522911]unstable
6[1.0380595354868291,1.0380595354868339][0.093435694641492983,0.093435694641505183]unstable
7[-1.0872860458490461,-1.0872860458490447][0.36967525887581315,0.36967525887581654]unstable
7[-1.0466775735267937,-1.0466775735267894][0.35496793781757529,0.35496793781758157]unstable
7[-0.92617327728451871,-0.92617327728451703][0.34236913808086111,0.3423691380808675]unstable
7[0.81803519601224594,0.81803519601224873][0.15474440787832016,0.15474440787832872]unstable
8[-1.1493133062560075,-1.1493133062560048][0.36560087176430355,0.36560087176431478]unstable
8[-0.8274542278695698,-0.82745422786956712][-0.37646388947765531,-0.37646388947764258]unstable
8[0.90002978920450349,0.90002978920451305][0.13188647717963458,0.13188647717967495]unstable
8[-0.44837319092732131,-0.44837319092731264][-0.34223569372342872,-0.34223569372341905]unstable
8[-0.83680827077054099,-0.83680827077053698][0.35013340845532586,0.35013340845533498]unstable
8[-0.80876720316291007,-0.80876720316289762][0.32983594103956154,0.32983594103958375]unstable
8[0.60111180966072053,0.6011118096607403][-0.21508292460527792,-0.21508292460523506]unstable
n=13まで計算したので、解の数のみ示します。全て不安定解でした。
n周期解の数
12
21
30
41
50
62
74
87
96
1010
1114
1219
1332
全解探索に成功したので、各nに対してこれらで全ての周期解を尽くしていることの数学的証明になっているはずです。

さて、この論文によると、a=1.3866414978735625,b=0.3だと、8周期の安定解が存在するのだそうです。実際、aの値をそれに変えて計算してみると、
nxy安定性
8[0.8742591352635014,0.87425913526350741][0.14575249177868274,0.14575249177870631]unstable
8[-0.84160148826306525,-0.84160148826306058][0.35209093466818297,0.35209093466819364]unstable
8[-0.4853729323948971,-0.48537293239488293][-0.34686239645463785,-0.34686239645462463]unstable
8[0.60580464136231371,0.6058046413623337][-0.21568623282216013,-0.21568623282211638]unstable
8[1.1065521562926103,1.1065521562926253][-0.11533020216315528,-0.11533020216311613]unstable
8[0.42199129139879743,0.42199129139889974][0.1755174868908467,0.17551748689086294]stable
8[0.93092246076173934,0.93092246076183872][0.12609408826805895,0.12609408826806834]unstable
と、6つの不安定解と1つの安定解が得られました。8回繰り返す写像の安定解の場所でのヤコビ行列は、
\begin{pmatrix} [-0.2071075038203655,-0.20710750356848622] & [1.3046842272497074,1.3046842274628959]) \\ [0.046141607262891293,0.046141607302409162] & [-0.29098818813819278,-0.29098818810610671] \end{pmatrix}
で、その固有値の絶対値の最大値は[0.49796393435494867,0.49796393621891983]でした。1より小さいのでこの解は安定なことが分かります。

さて、もう少し遊んでみたりもしたのですが記事も長くなってきたのでこのへんまでにしましょう。力学系方面の知識が無いのでこういう軌道を計算することがどう面白いのかはあまり分からないのですが、いろいろ楽しめました。力学系方面で精度保証付き数値計算をしたいという需要はありそうな気がするので、共同研究なんかに繋がるといいなあ。

2017/03/10(金)kv-0.4.41

kvライブラリを0.4.41にアップデートしました。

今回の変更は、キャストし忘れでode solverの内部使用型をddとしたときにコンパイル出来なくなっていた修正だけです。

また、ドキュメントにkvライブラリの応用例のページを追加しました。まだ2つだけしか載せていませんが、手元には載せたい応用例がたくさんあるので今後増やしていきたいと思います。また、このページでは数式を表示するプラグインのMathJaxを使ってみました。何か不具合があればお知らせください。

2017/01/27(金)kv-0.4.40

kvライブラリを0.4.40にアップデートしました。

今回は、T大のT先生の依頼によるODE solver仕様変更が含まれています。その他、psaのドキュメントを最新にしたり、kraw_approxの1変数版を追加したりしました。

ODE solverの仕様変更は以下のようなものです。常微分方程式の計算を行なうodelong_maffineなどのodelong系の関数では、計算しながら何かをさせるためのcallback関数を指定する機能があります (正確に言うと、()演算子を持つcallback用のオブジェクト)。これの戻り値は今まではvoidだったのですが、それをboolに変更してその値をチェックするようにし、もしfalseなら計算を中止するようにしました。これにより、終了条件として時刻でなく、「値が何かの条件を満たしたら終了」のようなことが出来るようになりました。これは便利になっているのですが、もし今までのversionのkvを利用していてcallback関数を継承によりカスタマイズする機能を使っていた場合、コンパイルエラーになってしまうという申し訳ないことになってしまいました。修正は簡単で、operator()を定義する関数の戻り値をboolに変えて末尾にreturn true;を補うだけです。

こういうことはなるべく起きないように仕様を考えるときは気をつけていたのですが、今回はメリットが仕様変更のデメリットを上回ると考えてこうすることに決心しました。恐らくこの機能を実際に使っているのはT大のT先生だけだと思いますが、もし他に使っている方がいらっしゃれば大変申し訳ありません。

また、githubの方のソースコードも最新になっています。結局ローカルの開発体制をgitに移行するには至らず、version up時にまとめてgithubを更新するような何とも無意味な状態になっています。新しいものに馴染むのは難しい…

2016/12/30(金)kv-0.4.39

kvライブラリを0.4.39にアップデートしました。

今回は特にバグフィックスは無く、主に使い勝手に関する機能追加です
  • 大域最適化用のoptimize.hppにminimize/minimize_value/maximize/maximize_valueを追加。1変数用の関数も追加。
  • dka.hppのdka関数の収束条件を見直し。
  • 高階微分用のhighderiv.hppに、 高階微分の関数オブジェクトを生成するHighDerivと、 偏高階微分の関数オブジェクトを生成するPartialDerivを追加した。
  • allsol.hppに1変数関数用のallsol関数を追加した。
大域最適化はあまり説明もなくひっそりと実装してあったのですが、本格的に利用したくなる場面があって、それには少し使いづらいので、いろいろと関数を追加しました。説明は、「大域最適化」に詳しく書きました。

dka関数の修正は、ルジャンドル多項式のゼロ点を求めようとすると収束条件が厳しすぎてループから出てこない問題点が見つかったのがきっかけです。高次のルジャンドル多項式は係数が非常に大きく、そのため残差に入る丸め誤差が大きくなるので収束しづらくなっていたようなので、係数の大きさを見て収束条件を加減するように変更してみました。

HighDerivおよびPartialDerivは、高階(偏)微分の関数オブジェクトを生成するもので、数値積分の誤差評価に出てくる高階微分の区間評価において、optimizeと組み合わせて過大評価を抑えることを意図して作ったものです。

いずれも誰かが使っているのを見て必要性を感じて作ったもので、ユーザのありがたさを感じています。皆様、もっともっと使って下さい!
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