2016/04/24(日)ubuntu 16.04 インストール(1)
14.04以来2年ぶりのLTS (Long Time Support)で、5年間のサポート期間があります。半年毎にアップデートするのは面倒なのでLTSを愛用していますが、ubuntuではセキュリティパッチは当たるものの基本的にソフトウェアのバージョンは上がらないので、14.04はそろそろ古くなってきました。
というわけで、16.04に乗り換えるべく、いろいろインストールして試してみます。その過程を日記として残します。
Ubuntu 16.04 (Xenial Xerus)から、 ubuntu-16.04-desktop-amd64-iso をダウンロードします。自分が落としたときはリリース直後だったのでtorrentを使いました。もう数日すると「日本語remix」バージョンも公開されるとは思いますが、待ちきれずに本家を入れました。
VMwareで作業しました。新規仮想マシン→標準→後でOSをインストール。仮想マシンの種類はLinux Ubuntu 64bit。ディスクはデフォルトの20Gじゃ少ないので256Gに増やしました。仮想マシンの設定でisoをマウントし起動。
- 「日本語」を選ぶ。
- 「Ubuntuをインストール」を選ぶ。
- 「Ubuntuのインストール中にアップデートをダウンロードする」、「グラフィックス、Wi-Fi機器、Flash、MP3やその他のメディアに必要なサードパーティーソフトウェアをインストールする」をチェック
- 「安全のため新しいUbuntuのインストールを暗号化する」、「新しいUbuntuのインストールにLVMを使用する」はチェックしない。
- 「Tokyo」を選ぶ。
- キーボードは「日本語」「日本語」
- 「ログイン時にパスワードを要求する」を選ぶ。
初めてubuntuを使うとメニューから端末を出せずにびっくりするかもしれませんが、左上の渦巻きみたいなアイコンから「terminal」を検索して出します。右クリックして「Launcherへ登録」するといいでしょう。
2016/04/15(金)kv-0.4.33
今回は、Visual C++でconv-double.hpp, conv-dd.hppがコンパイル出来ないというご指摘を頂いたので修正しました。この2つのファイルは元々luaというスクリプト言語でプロトタイプを開発し、それをC++に移植したものです。luaのif文の中のand(論理積)を&&に直すのを忘れていた箇所があって、何故か古いVCやgccではこれがコンパイルエラーにならなかったので気づかなかった、というものです。@quartorzさん、@nikqさん、ご指摘ありがとうございました。
その他、自動微分の使い方の説明に少し追記しました。
某S先生がC++11の機能を使っていろいろ作ってるのが楽しそうで、kvもC++11に移行したい気分が高まっています。しかしほぼ全体に及ぶ大手術になるので大変だなあ。
2016/04/02(土)kv-0.4.32
またまたバグフィックスです。intervalとddのsinhとcoshに、引数が負で絶対値が大きい場合に、ゼロ除算が発生してしまうバグがありました。
#include <kv/interval.hpp>
#include <kv/rdouble.hpp>
typedef kv::interval<double> itv;
int main()
{
std::cout << sinh(itv(-710.)) << "\n";
}
のようなプログラムを実行すると、terminate called after throwing an instance of 'std::domain_error' what(): interval: division by 0 中止 (コアダンプ)のようになってしまっていました。これを、正しく
[-inf,-8.98846e+307]となるように修正しました。誤った数値を黙って返してしまうのは精度保証的には最悪ですが、停止するのでそれよりマシとは言えみっともないバグではあります。
この原因は、sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2を、expの計算を一回で済まそうとして(exp(x)-1/exp(x))/2で計算していたため、exp(x)が(値がが小さすぎて)ゼロを含むような場合にゼロ除算が起きてしまうというものでした。xの正負で場合分けして、xが負なら(1/exp(-x)-exp(-x))/2で計算する、というような対策をしました。
2016/03/28(月)kv-0.4.31
具体的には、
#include <kv/interval.hpp>
#include <kv/rdouble.hpp>
int main()
{
std::cout.precision(17);
std::cout << kv::interval<double>("1e-1000") << "\n";
std::cout << kv::interval<double>("1e1000") << "\n";
}
のようなプログラムの出力が、[0,0] [inf,inf]となってしまう問題です。これを、正しく
[0,4.9406564584124655e-324] [1.7976931348623157e+308,inf]となるように修正しました。
これは、文字列をdoubleに変換する関数stringtod (kv/conv-double.hpp内にある) で、絶対値が2-1075より小さい値を無条件で0に、絶対値が21024より大きい値を無条件でinfにしてしまっていたせいです。正しくは、丸めモードを見て、絶対値が小さくても上向き丸めなら2-1074を、絶対値が大きくても下向き丸めなら21024-2971(C言語で言うところのDBL_MAX)を返すべきでした。
kv-0.4.31では、kv/conv-double.hppとkv/conv-dd.hppをそのように修正しました。
2016/03/25(金)kv-0.4.30とstiffなODE
y=(y1,y2,y3)として、
y1' = -0.04y1 + 104y2y3
y2' = 0.04y1 - 104y2y3 - 3*107y22
y3' = 3*107y22
y1(0)=1, y2(0)=0, y3(0)=0
というものです。Robertson's Problemとして有名なもののようです。係数に非常に大きな数が見えるので、確かにヤバそうです。これをkvのODE solver(ode_maffine)で解かせてみると、確かにステップ幅が非常に小さくなってしまい、全く先に進みません。次数を変えたりいろいろ試してみても、どうにもうまく行きません。stiffな奴は本気で取り組まないといけないなあと考えていたのですが、ふと思いついて以前からkvに含まれていたode_maffine2というsolverで解かせて見ると、なんと楽に解けることが判明しました。ode_maffineに比べると1000倍くらい刻み幅が大きく取れるので、結果として同じ時刻まで計算するのに1000倍くらい速いということになります。
ODE solverは、いわゆるwrappring effectを防ぐために、解軌道の初期値に関する微分を利用しています。ode_maffineは、それを得るのに与えられた微分方程式の初期値に関する変分方程式を同時に精度保証付きで解いています。ode_maffine2はそこを少し手抜きして、推進写像を低次の部分と高次の部分に分け、定次の部分の初期値に関する微分を自動微分で計算し、高次の部分は微分を計算せず直接区間評価する、という手法で計算しています。この手法はLohnerも使っているもので、新しいものではありません。普通のODEで試すとode_maffineとode_maffine2は計算時間に大差はなく、またode_maffine2は推進写像の正確なヤコビ行列を計算しないのでshooting methodに使いづらいこともあり、ode_maffineの方を主に使っていました。
stiffなODEでこのような大きな差が出た理由を推測してみます。n2の大きさの変分方程式を精度保証する必要のあるode_maffineと、nの大きさの与えられた方程式を精度保証しさえすればよいode_maffine2では、元々精度保証可能な刻み幅の限界に大きな差があった。通常のstiffでないODEでは1ステップ毎に混入する誤差をmachine epsilon以下にするための刻み幅の限界の方が精度保証限界より小さいのでそちらに制限されてしまい、差が見えない。しかし、stiffなODEになると、精度保証可能な刻み幅の限界値が小さくなり、その差が顕著に見えるようになった、と推測できます。
問題の方程式をode_maffineとode_maffine2で解かせて見ると、t=0.00390625 (1/256)までの解を精度保証するのに、ode_maffineだとおよそ3分12秒かかったのに対して、ode_maffine2だとわずか0.02秒で終了しました。そこまでのtの分割数は前者が10842なのに対して後者はわずか6でした。また、ode_maffine2だと、t=40までの精度保証をさせても、およそ3分40秒、分割数13281でした。そのときの解は、およそ次の図のような感じでした。
t=0からの出発直後に大きな変化があるので、あえてtを対数で表示しています。
また、このことに関連して、kvライブラリをkv-0.4.30にアップデートしました。本質的にはほとんど変わっていませんが、刻み幅の制御方法を少し変えたのと、ODEのweb demoでode_maffineとode_maffine2を選べるようにしました。example/rober.ccに今回の例題も入れておきました。