2018/11/24(土)LohnerのAWAで遊ぼう
古いソフトウェアなので手元で動かした経験のある人は少ないと思いますが、今回は、この知る人ぞ知るソフトウェアを手元で動かして、実際に初期値問題の精度保証を行うまでの方法を書きたいと思います。
AWAのホームページは AWAにありますが、ここには古い機種でのバイナリしかありません。awa.src.tar.Zはありますが、ここには拡張子.pのファイルしか入っていません。AWAは、精度保証付き数値計算のために開発されたPascal-XSCという言語で書かれています。よってAWAを使うには、まずPascal-XSCコンパイラを準備しなければなりません。幸いなことにPascal-XSCのパッケージはその中に丸ごとAWAを含んでいて、Pascal-XSCをmakeすればAWAが手に入ります。
Pascal-XSCは、XSC LanguagesのページにあるPascal-XSCの欄の、Free Download (Compiler and Toolbox)にあります。そこに、ソースコード ( p-xsc-3.6.2.tar.gz (released 2005-12-19) ) があるのでそれをダウンロードしましょう。
以下、makeの仕方を示します。Ubuntu 18.04 (64bit)で行いました。32bitのbinaryを作成するので、
sudo apt install build-essential sudo apt install gcc-multilibが必要だと思います(後者が重要)。archiveを展開するとMakefileがあり、まずMakefileを書き換えます。どういうわけだか単にmakeするだけでいわゆるmake installに相当する作業を行い更にpathまで切ろうとするというお行儀の悪さなので、少し手を入れます。まず、Makefileの最初の方の
PREFIX=/usr/local/p-xscの部分を書き換えて、書き込んでもよい場所を絶対パスで指定します。自分は念の為ホームディレクトリの中の適当な場所を指定しました。また、Makefile中の
@echo "****************************************************"
@echo " Install System PATH in /etc/profile.local as root *"
@echo " or in ~/.bashrc as user *"
@echo "****************************************************"
cd profile; ./uidtest.sh ${PREFIX}
の部分で/etc/profile.localというシステムファイルに書き込もうとするので、ここは#でコメントアウトしておきます。makeそのものは自分の環境では問題なく出来ました。PREFIXで指定した場所の bin/awa が目的のAWAのコンパイル済み実行ファイルです。Pascal-XSC言語を使うつもりがないならば、
- 生成されたawaの実行ファイル
- prts/rts/o_msg1.h (Pascal-XSCの"runtime message"。current dirに置く)
- awa/examples/* (AWAのサンプルファイル)
さて、実際に初期値問題を精度保証する方法を示します。例題は、van der Pol方程式を1階に直した
\begin{align*}
\frac{dx}{dt} &= y \\
\frac{dy}{dt} &= \mu (1-x^2)y - x
\end{align*}
を、\mu=1とし、初期値 (x(0),y(0))=(1,1)でt\in[0,20]の範囲で計算することにしました。まず、test.inを2 test.dat test.outの内容で作成します。「2」は方程式の次元、test.datは方程式を記述するファイル、test.outは出力するファイル名です。次に、test.datを、
F1 = U2 F2 = 1 * (1-U1*U1) * U2 - U1 ;; 1 0 20 0 24 4 0 1 1 1e-16 1e-16の内容で作成し、
awa < test.inとすると、test.outが生成されます。この場合は、
ode read from file test.dat
out = 1
T_start = 0.000000000000000E+000
T_end = 2.000000000000000E+001
initial stepsize h = 0.000000000000000E+000
order p = 24
enclosure method : intersection of interval-vector and QR-decomposition
output : function values
t = 0.000000000000000E+000
[ 1.00000000000000E+000, 1.00000000000000E+000] 0.00E+000 0.0E+000
[ 1.00000000000000E+000, 1.00000000000000E+000] 0.00E+000 0.0E+000
h = 1.911222934722900E-001
t = 1.911222934722900E-001
[ 1.16970857077089E+000, 1.16970857077090E+000] 6.67E-016 5.7E-016
[ 7.61501247518094E-001, 7.61501247518095E-001] 3.34E-016 4.4E-016
h = 1.831474304199219E-001
(中略)
t = 1.993603903055191E+001
[ 2.00246009621560E+000, 2.00246009621563E+000] 2.18E-014 1.1E-014
[ 1.69827498867334E-001, 1.69827498867578E-001] 2.43E-013 1.5E-012
h = 6.396096944808960E-002
t = 2.000000000000000E+001
[ 2.00848791779841E+000, 2.00848791779843E+000] 8.00E-015 4.0E-015
[ 2.32898543064796E-002, 2.32898543066811E-002] 2.02E-013 8.7E-012
Number of integration steps: 134
Time: 1.64 sec
のようなファイルが生成されました(計算速度はLet's Note RZ4で)。時刻毎のx,yの値が区間で表示されていますが、真の軌道がこの区間内にあることが数学的に厳密に保証されています。区間の後の2つの数値はそれぞれ区間幅、相対区間幅を表しているようです。x,yそれぞれの上限、下限をプロットしてみましたが、このくらいの簡単な問題だと差はグラフ上では見えません。
なお、途中は折れ線で繋いだだけなので、自動で分点に選ばれた134点以外の部分は精度保証されたグラフではありません。
方程式を記述するファイルの書き方を説明します。
F1 = U2 F2 = 1 * (1-U1*U1) * U2 - U1 ;;方程式の右辺を記述します。変数がU1, U2で、方程式がF1, F2です。次元の数だけ記述します。
1 0 20 0 24
- 1 : 1以外のnを指定すると、nステップ毎に表示するようになります。基本1でいいと思います。
- 0 20 : tの変域。0から20まで計算します。
- 0 : 初期ステップ幅。0なら自動推定してくれるので、基本0でいいと思います。
- 24 : 内部で使うTaylor展開の次数
4 0
- 4 : 内部で使うアルゴリズム。1から4までありますが、4が一番優秀です。
- 0 : 結果の表示の方法。0しか実装されていないっぽい。
1 1初期値です。ここだけ少し注意が必要です。まず、初期値には、[1,2] [1,1.5]みたいな区間を書くこともできます。また、1.1のようなIEEE754のdoubleで書けないような数が与えられると、自動的にそれを包含する区間として扱います。初期値のうちどれか一つでも区間になるような場合は、
1 1.1 nのように後に「n」を補わなければなりません。「j」でもいいのですが、相対誤差の表示に影響するだけで、計算そのものには影響しません。しかし、初期値が区間になる場合はnかjのどちらかを書く必要があります。
1e-16 1e-16それぞれ、1ステップ毎に許容される絶対誤差、相対誤差を表します。
極めて優秀なアルゴリズムとソフトウェアで、のちに初期値問題の精度保証の研究者はなかなかこれを超えられずに苦労することになります。優れた仕事に対する尊敬の念を込めて、この記事を書きました。