2018/12/26(水)三部会連携 応用数理セミナー
そこでつかったスライドを上げておきます。
40分では少し駆け足になってしまったのが反省点。また、Affine Arithmeticは常微分方程式の精度保証でかなり重要な役割を果たしているにもかかわらず、教科書のどこにも説明がないのが大きな問題点だなあと感じました。
2018/12/09(日)Intlab 11の精度保証付きODE Solver
一つは、先ごろ紹介したLohnerのAWAを移植したAWA Toolboxです。AWAはPascal-XSCというマイナーな言語で書かれていますから、メジャーなMATLABで書かれていた方がありがたい、という人もいるでしょう。
もう一つは、Berz, Makinoによる精度保証付き初期値問題ソルバーCOSY INFINITYを移植した Taylor model toolbox です。解を初期値に関して高次に展開することによる非常に高性能な精度保証付きアルゴリズムとして知られています。
今回は、この両者を実際に動かしてみたレポートです。MATLABはLinux上でR2018aを使いました。
まずはIntlab 11を買います。PayPalで支払うと、メールで6時間有効なダウンロードリンクが送られてくるので、INTLAB.zipをダウンロードしておきましょう。中身のファイルそのものは特にプロテクトがかかっているわけではなく自由に使えます。Intlabのインストールは簡単で、zipを解凍して好きなディレクトリに置くだけです。Intlabの機能を使う前に、MATLABでそのディレクトリにcdして startintlab とタイプします。初回はいろいろ調査するため時間がかかります。注意点は、IntlabはMATLABとoctave(MATLAB互換フリーソフト)に対応していますが、残念ながら精度保証付き初期値問題のためのAWA toolboxとTaylor model toolboxはoctaveに対応していません。octaveでのテストを行わずに開発していたそうで、またいくつかのoctaveの非互換の部分が問題ですぐに対応するのは難しいそうです。
次に実際に動かしてみます。例題は、以前LohnerのAWAを紹介した記事と同じ、van der Pol方程式:
\begin{align*}
\frac{dx}{dt} &= y \\
\frac{dy}{dt} &= \mu (1-x^2)y - x
\end{align*}
で、\mu=1とし、初期値 (x(0),y(0))=(1,1)でt\in[0,20]の範囲で計算する問題にしました。AWA toolbox
まずAWA toolboxの方の使い方を説明します。詳細はDEMOAWA Short demonstration of the AWA toolboxのページを見て下さい。最小限のコードはこんな感じだと思います。これを適当な名前 (例えばhoge.m) でファイルを作成し、MATLAB上でhogeで実行できます。
init = [1; 1];
[T,X] = awa(@vdp, @vdp_J, [0, 20], init);
format long e
awa_disp(T,X);
function f = vdp(t, x)
mu = 1;
f = [x(2);
mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
end
function J = vdp_J(t, x)
mu = 1;
J = [typeadjust(0, x), typeadjust(1, x);
-2*mu*x(1)*x(2) - 1, mu*(1-x(1)^2)];
end
このように、ODEの右辺を定義する関数(ここではvdp)と、そのヤコビ行列を返す関数(ここではvdp_J)を定義し、関数awaを呼びます。awaの計算したデータを分かりやすく表示してくれるのがawa_dispです。ヤコビ行列を定義するのが面倒ですし、Intlabの持っている自動微分機能でなんとかなりそうな気がするのですが、高速化のためにやむを得なかったそうです。typeadjustという関数が使われていますが、関数の戻り値に定数があるときはこうやって型を補正する必要があります。更に、関数awaの第5引数に
awaset('order',10,'h0',0,'EvalMeth',4,'AbsTol',1e-16,'RelTol',1e-16)
のような関数を使って、様々なパラメータを変更することができます(これらの値はデフォルト値)。変更したいパラメータの名前を奇数番目の引数に、値を偶数番目の引数に書きます。これを使って、LohnerのAWAを紹介した記事に合わせてTaylor展開の次数を24次にした、
init = [1; 1];
tic; [T,X] = awa(@vdp, @vdp_J, [0, 20], init, awaset('order', 24)); toc
format long e
awa_disp(T,X);
function f = vdp(t, x)
mu = 1;
f = [x(2);
mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
end
function J = vdp_J(t, x)
mu = 1;
J = [typeadjust(0, x), typeadjust(1, x);
-2*mu*x(1)*x(2) - 1, mu*(1-x(1)^2)];
end
を実行してみました。すると、次のような解が得られました。
経過時間は 20.973900 秒です。
t = 0
[y_1] = [ 1.000000000000000e+000, 1.000000000000000e+000] d([y_1]) = 0.00e+00
[y_2] = [ 1.000000000000000e+000, 1.000000000000000e+000] d([y_2]) = 0.00e+00
t = 1.911224186649680e-01
[y_1] = [ 1.169708666105268e+000, 1.169708666105269e+000] d([y_1]) = 6.66e-16
[y_2] = [ 7.615010659752849e-001, 7.615010659752856e-001] d([y_2]) = 4.44e-16
(中略)
t = 1.992657858092985e+01
[y_1] = [ 2.000739935214436e+000, 2.000739935214461e+000] d([y_1]) = 2.31e-14
[y_2] = [ 1.939352117515359e-001, 1.939352117517785e-001] d([y_2]) = 2.42e-13
t = 20
[y_1] = [ 2.008487917798417e+000, 2.008487917798427e+000] d([y_1]) = 7.99e-15
[y_2] = [ 2.328985430648321e-002, 2.328985430667890e-002] d([y_2]) = 1.96e-13
オリジナルのAWAのt=20における解は、t = 2.000000000000000E+001 [ 2.00848791779841E+000, 2.00848791779843E+000] 8.00E-015 4.0E-015 [ 2.32898543064796E-002, 2.32898543066811E-002] 2.02E-013 8.7E-012でした。どちらも精度保証付きソルバーなので、両者の共通部分に真の解があることになります。計算時間はオリジナルが0.81secだったのに対してこちらは20.97secと、かなり遅くなってしまっています。Bünger先生によるとかなり高速化の工夫をしたとのことですが、これがMATLABの限界でしょうか。
Taylor model toolbox
こちらの最小限のコードはこんな感じだと思います。詳細はDEMOTAYLORMODEL Short demonstration of the Taylor model toolboxを見て下さい。
init = [1; 1];
[T,X,Xr] = verifyode(@vdp, [0, 20], init);
format long e
verifyode_disp(T,X,Xr,init);
function f = vdp(t, x, i)
mu = 1;
if nargin == 2 || isempty(i)
f = [x(2);
mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
else
switch i
case 1
f = x(2);
case 2
f = mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1);
end
end
end
こちらはawaの方にあったヤコビ行列を書く必要はありません。その代わり、右辺を定義する関数にt, xに続く第3の変数が増えており、そこに自然数が与えられたらその番号に対応する右辺の式だけを計算して返すことが要求されています。これも高速化のためです。関数verifyodeで計算した値をverifyode_dispで表示するのはAWA toolboxと同じですが、渡す変数の数がT, X, Xrと3つに増えており、またverifyode_dispには初期値も渡す必要があります。AWA toolboxと同様に
verifyodeset('order',12, 'h0',0,'loc_err_tol',1e-10,'shrinkwrap',1,'precondition',0,'blunting',0)
のようなオプションを第4引数に指定することによって動作をカスタマイズできます。AWAと違って非常にオプションが多く、またオプションの指定によって大きく性能が違うようなので、まずどんなオプションがいいか調べてみました。方程式は同じvan der Polでt=15まで計算、orderは18に固定して、区間幅の変化を調べてみました。それを行った結果が次のグラフです。
グラフの説明の上から9つが今回のTaylor Model Toolboxの計算結果で、下3つは他のもの(参考値)です。カッコ内の数値は計算時間(秒)です。グラフの説明は、それぞれ次のようなオプションと対応しています。横軸がt、縦軸は計算結果の区間幅を表しています。
| shrinkwrap | precondition | blunting | |
|---|---|---|---|
| QR | 0 | 1 | 0 |
| parallelpiped | 0 | 2 | 0 |
| parallelpiped + blunting | 0 | 2 | 1 |
| shrinkwrap(default) | 1 | 0 | 0 |
| shrinkwrap + blunting | 1 | 0 | 1 |
| shrinkwrap + QR | 1 | 1 | 0 |
| shrinkwrap + QR + blunting | 1 | 1 | 1 |
| shrinkwrap + parallelpiped | 1 | 2 | 0 |
| shrinkwrap + parallelpiped + blunting | 1 | 2 | 1 |
このパラメータを使い、更に次数を24に、loc_err_tolは1e-10に (いろいろ試すとこの数値が良かった) 設定して、以下を実行してみました。
init = [1; 1];
tic; [T,X,Xr] = verifyode(@vdp, [0, 20], init, verifyodeset('order', 24, 'loc_err_tol', 1e-10, 'shrinkwrap', 0, 'precondition', 1, 'blunting', 0)); toc;
format long e
verifyode_disp(T,X,Xr,init);
function f = vdp(t, x, i)
mu = 1;
if nargin == 2 || isempty(i)
f = [x(2);
mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
else
switch i
case 1
f = x(2);
case 2
f = mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1);
end
end
end
すると、次のような解が得られました。
経過時間は 24.897000 秒です。
t = 0
[y_1] = [ 1.000000000000000e+000, 1.000000000000000e+000] d([y_1]) = 0.00e+00
[y_2] = [ 1.000000000000000e+000, 1.000000000000000e+000] d([y_2]) = 0.00e+00
t = 2.218563039351837e-01
[y_1] = [ 1.192420354444434e+000, 1.192420354444441e+000] d([y_1]) = 5.77e-15
[y_2] = [ 7.162286750812696e-001, 7.162286750812727e-001] d([y_2]) = 2.89e-15
(中略)
t = 1.986588757581453e+01
[y_1] = [ 1.983929113336597e+000, 1.983929113337129e+000] d([y_1]) = 5.31e-13
[y_2] = [ 3.648228353937841e-001, 3.648228353977482e-001] d([y_2]) = 3.96e-12
t = 20
[y_1] = [ 2.008487917798372e+000, 2.008487917798472e+000] d([y_1]) = 9.95e-14
[y_2] = [ 2.328985430522710e-002, 2.328985430793645e-002] d([y_2]) = 2.71e-12
少し精度が落ちているものの、同様に精度保証された解が得られました。計算時間は25秒弱とやや遅めです。Taylor model toolboxに指定した
verifyodeset('order', 24, 'loc_err_tol', 1e-10, 'shrinkwrap', 0, 'precondition', 1, 'blunting', 0)
は試行錯誤の結果ですが、もっと良い設定があるかもしれません。情報は募集中です。当然、方程式や初期値が違えばまた最適値も変わる可能性が高いです。Taylor modelは前評判からするとやや性能が出ておらず、少しがっかりしています。二重振り子の精度保証付き数値計算で勝負
最後に、二重振り子の精度保証付き数値計算の記事の二重振り子の軌道を計算させてみて、AWA, kvライブラリと比較してみました。
使った式は、以前と同じ
\begin{align*}
& (m_1+m_2)l_1\ddot{\theta_1} + m_2l_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)
+ m_2l_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)g \sin \theta_1= 0 \\
& l_1l_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2) + l_2^2\ddot{\theta_2}
-l_1l_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_1-\theta_2) + g l_2 \sin \theta_2= 0
\end{align*}
\begin{align*}
m_1 &= m_2 = 1 \\
l_1 &= l_2 = 1 \\
g &= 9.8 \\
\end{align*}
\begin{align*}
\theta_1(0) &= \frac{3}{4}\pi \\
\theta_2(0) &= \frac{3}{4}\pi \\
\dot{\theta_1}(0) &= 0 \\
\dot{\theta_2}(0) &= 0
\end{align*}
です。使用したプログラムは、Taylor model toolboxが、
init = [intval('pi')*0.75; intval('pi')*0.75; 0; 0];
tic; [T,X,Xr] = verifyode(@doublependulum, [0, 11], init, verifyodeset('order', 24, 'loc_err_tol', 1e-10, 'shrinkwrap', 0, 'precondition', 1, 'blunting', 0)); toc;
format long e
verifyode_disp(T,X,Xr,init);
function f = doublependulum(t, x, i)
persistent g;
if (isempty(g))
g = intval('9.8');
end
m1 = 1;
m2 = 1;
l1 = 1;
l2 = 1;
t1 = cos(x(1) - x(2));
t2 = sin(x(1) - x(2));
a = (m1 + m2) * l1;
b = m2 * l2 * t1;
c = l1 * l2 * t1;
d = l2 * l2;
dt = a*d - b*c;
v1 = -m2 * l2 * x(4) * x(4) * t2 - (m1 + m2) * g * sin(x(1));
v2 = l1 * l2 * x(3) * x(3) * t2 - g * l2 * sin(x(2));
if nargin == 2 || isempty(i)
f = [x(3);
x(4);
(d * v1 - b * v2) / dt;
(-c * v1 + a * v2) / dt];
else
switch i
case 1
f = x(3);
case 2
f = x(4);
case 3
f = (d * v1 - b * v2) / dt;
case 4
f = (-c * v1 + a * v2) / dt;
end
end
end
AWAが、M1 = 1 M2 = 1 L1 = 1 L2 = 1 G = 9.8 T1 = cos(U1 - U2) T2 = sin(U1 - U2) A = (M1 + M2) * L1 B = M2 * L2 * T1 C = L1 * L2 * T1 D = L2 * L2 DT = A*D - B*C V1 = -M2 * L2 * U4 * U4 * T2 - (M1 + M2) * G * sin(U1) V2 = L1 * L2 * U3 * U3 * T2 - G * L2 * sin(U2) F1 = U3 F2 = U4 F3 = ( D*V1 - B*V2) / DT F4 = (-C*V1 + A*V2) / DT ;; 1 0 13 0 24 4 0 [2.35619449019234492884698253745961,2.356194490192344928846982537459636] [2.35619449019234492884698253745961,2.356194490192344928846982537459636] 0 0 n 1e-16 1e-16kvが、
#include <iostream>
#include <limits>
#include <kv/ode-maffine.hpp>
#include <kv/constants.hpp>
#include <kv/ode-callback.hpp>
namespace ub = boost::numeric::ublas;
typedef kv::interval<double> itv;
struct DoublePendulum {
template <class T> ub::vector<T> operator() (const ub::vector<T>& x, T t){
ub::vector<T> y(4);
ub::matrix<T> tm(2,2);
ub::vector<T> tv(2);
T a, b, c, d, t1, t2;
static const T m1 = T(1.);
static const T m2 = T(1.);
static const T l1 = T(1.);
static const T l2 = T(1.);
static const T g = kv::constants<T>::str("9.8");
t1 = cos(x(0) - x(1));
t2 = sin(x(0) - x(1));
a = (m1 + m2) * l1;
b = m2 * l2 * t1;
c = l1 * l2 * t1;
d = l2 * l2;
tm(0,0) = d;
tm(0,1) = -b;
tm(1,0) = -c;
tm(1,1) = a;
tm /= (a*d - b*c);
tv(0) = -m2 * l2 * x(3) * x(3) * t2 - (m1 + m2) * g * sin(x(0));
tv(1) = l1 * l2 * x(2) * x(2) * t2 - g * l2 * sin(x(1));
tv = prod(tm, tv);
y(0) = x(2);
y(1) = x(3);
y(2) = tv(0);
y(3) = tv(1);
return y;
}
};
int main()
{
ub::vector<itv> ix;
itv end;
std::cout.precision(17);
ix.resize(4);
ix(0) = 0.75 * kv::constants<itv>::pi();
ix(1) = 0.75 * kv::constants<itv>::pi();
ix(2) = 0.;
ix(3) = 0.;
// end = std::numeric_limits<double>::infinity();
end = 17.05;
kv::odelong_maffine(DoublePendulum(), ix, itv(0.), end, kv::ode_param<itv::base_type>().set_verbose(1));
}
です。IntlabのAWA toolboxは、関数のヤコビ行列を書くのが面倒で試しませんでした。計算結果を図示します。
このようになりました。さすがは精度保証付きソルバー、当たり前ではありますがグラフがぴったり重なっています。Taylor model toolboxはt=10までは計算できましたが、t=11では計算が止まりませんでした。AWAはt=12過ぎで解が発散しました。kvはt=17過ぎまで計算できました。解の区間幅を図示すると、
このようになりました。kvが長い時間区間幅が発散せずに持ちこたえていることが分かります。
計算時間は、全員が計算可能なt=10までで、Taylor model toolboxが5時間20分17秒、AWAが17.9秒、kvが22.9秒でした。
kvは、他の2つには不可能な、内部の演算型を全てdouble-double(疑似4倍精度)に変えて精度保証付き計算を行うこともでき、この場合は軽々とt=30以上まで計算することができます。
2018/11/29(木)kv-0.4.47
実は、日記には書きませんでしたが、昨日、kv-0.4.46にアップデートしています。
kv-0.4.46では、精度保証付きODE solverのstep sizeの制御部分が自分の意図通りに書かれていなかったいくつかのバグを修正しました。以前のversionでも精度保証が破れていることはないはずですが、step sizeの戦略が変わるので計算結果は0.4.45以前とは少し変わります。特にstiffな問題に関しては、大きく変わる可能性もあります。
kv-0.4.47もODE solverに関する変更です。ユーザから見れば、ode-maffine0.hppが削除されたこと以外はほとんど変わっていません。しかし、内部には大きな変更が入りました。kv-0.4.35で行った変分方程式の解き方の改善は、ode-maffineに対するものでしたが、それをode-autodifに直接組み込むようにしました。これにより、(ほとんど使われていないでしょうけど)ode-qrがstiff ODEに強くなっていることが予想されます。
変更が大きいので気分的にスナップショットを残しておきたくて、短期間でのversion upになりました。いろいろチェックはしたつもりですが、何か不具合がありましたらお知らせ下さい。
2018/11/24(土)LohnerのAWAで遊ぼう
古いソフトウェアなので手元で動かした経験のある人は少ないと思いますが、今回は、この知る人ぞ知るソフトウェアを手元で動かして、実際に初期値問題の精度保証を行うまでの方法を書きたいと思います。
AWAのホームページは AWAにありますが、ここには古い機種でのバイナリしかありません。awa.src.tar.Zはありますが、ここには拡張子.pのファイルしか入っていません。AWAは、精度保証付き数値計算のために開発されたPascal-XSCという言語で書かれています。よってAWAを使うには、まずPascal-XSCコンパイラを準備しなければなりません。幸いなことにPascal-XSCのパッケージはその中に丸ごとAWAを含んでいて、Pascal-XSCをmakeすればAWAが手に入ります。
Pascal-XSCは、XSC LanguagesのページにあるPascal-XSCの欄の、Free Download (Compiler and Toolbox)にあります。そこに、ソースコード ( p-xsc-3.6.2.tar.gz (released 2005-12-19) ) があるのでそれをダウンロードしましょう。
以下、makeの仕方を示します。Ubuntu 18.04 (64bit)で行いました。32bitのbinaryを作成するので、
sudo apt install build-essential sudo apt install gcc-multilibが必要だと思います(後者が重要)。archiveを展開するとMakefileがあり、まずMakefileを書き換えます。どういうわけだか単にmakeするだけでいわゆるmake installに相当する作業を行い更にpathまで切ろうとするというお行儀の悪さなので、少し手を入れます。まず、Makefileの最初の方の
PREFIX=/usr/local/p-xscの部分を書き換えて、書き込んでもよい場所を絶対パスで指定します。自分は念の為ホームディレクトリの中の適当な場所を指定しました。また、Makefile中の
@echo "****************************************************"
@echo " Install System PATH in /etc/profile.local as root *"
@echo " or in ~/.bashrc as user *"
@echo "****************************************************"
cd profile; ./uidtest.sh ${PREFIX}
の部分で/etc/profile.localというシステムファイルに書き込もうとするので、ここは#でコメントアウトしておきます。makeそのものは自分の環境では問題なく出来ました。PREFIXで指定した場所の bin/awa が目的のAWAのコンパイル済み実行ファイルです。Pascal-XSC言語を使うつもりがないならば、
- 生成されたawaの実行ファイル
- prts/rts/o_msg1.h (Pascal-XSCの"runtime message"。current dirに置く)
- awa/examples/* (AWAのサンプルファイル)
さて、実際に初期値問題を精度保証する方法を示します。例題は、van der Pol方程式を1階に直した
\begin{align*}
\frac{dx}{dt} &= y \\
\frac{dy}{dt} &= \mu (1-x^2)y - x
\end{align*}
を、\mu=1とし、初期値 (x(0),y(0))=(1,1)でt\in[0,20]の範囲で計算することにしました。まず、test.inを2 test.dat test.outの内容で作成します。「2」は方程式の次元、test.datは方程式を記述するファイル、test.outは出力するファイル名です。次に、test.datを、
F1 = U2 F2 = 1 * (1-U1*U1) * U2 - U1 ;; 1 0 20 0 24 4 0 1 1 1e-16 1e-16の内容で作成し、
awa < test.inとすると、test.outが生成されます。この場合は、
ode read from file test.dat
out = 1
T_start = 0.000000000000000E+000
T_end = 2.000000000000000E+001
initial stepsize h = 0.000000000000000E+000
order p = 24
enclosure method : intersection of interval-vector and QR-decomposition
output : function values
t = 0.000000000000000E+000
[ 1.00000000000000E+000, 1.00000000000000E+000] 0.00E+000 0.0E+000
[ 1.00000000000000E+000, 1.00000000000000E+000] 0.00E+000 0.0E+000
h = 1.911222934722900E-001
t = 1.911222934722900E-001
[ 1.16970857077089E+000, 1.16970857077090E+000] 6.67E-016 5.7E-016
[ 7.61501247518094E-001, 7.61501247518095E-001] 3.34E-016 4.4E-016
h = 1.831474304199219E-001
(中略)
t = 1.993603903055191E+001
[ 2.00246009621560E+000, 2.00246009621563E+000] 2.18E-014 1.1E-014
[ 1.69827498867334E-001, 1.69827498867578E-001] 2.43E-013 1.5E-012
h = 6.396096944808960E-002
t = 2.000000000000000E+001
[ 2.00848791779841E+000, 2.00848791779843E+000] 8.00E-015 4.0E-015
[ 2.32898543064796E-002, 2.32898543066811E-002] 2.02E-013 8.7E-012
Number of integration steps: 134
Time: 1.64 sec
のようなファイルが生成されました(計算速度はLet's Note RZ4で)。時刻毎のx,yの値が区間で表示されていますが、真の軌道がこの区間内にあることが数学的に厳密に保証されています。区間の後の2つの数値はそれぞれ区間幅、相対区間幅を表しているようです。x,yそれぞれの上限、下限をプロットしてみましたが、このくらいの簡単な問題だと差はグラフ上では見えません。
なお、途中は折れ線で繋いだだけなので、自動で分点に選ばれた134点以外の部分は精度保証されたグラフではありません。
方程式を記述するファイルの書き方を説明します。
F1 = U2 F2 = 1 * (1-U1*U1) * U2 - U1 ;;方程式の右辺を記述します。変数がU1, U2で、方程式がF1, F2です。次元の数だけ記述します。
1 0 20 0 24
- 1 : 1以外のnを指定すると、nステップ毎に表示するようになります。基本1でいいと思います。
- 0 20 : tの変域。0から20まで計算します。
- 0 : 初期ステップ幅。0なら自動推定してくれるので、基本0でいいと思います。
- 24 : 内部で使うTaylor展開の次数
4 0
- 4 : 内部で使うアルゴリズム。1から4までありますが、4が一番優秀です。
- 0 : 結果の表示の方法。0しか実装されていないっぽい。
1 1初期値です。ここだけ少し注意が必要です。まず、初期値には、[1,2] [1,1.5]みたいな区間を書くこともできます。また、1.1のようなIEEE754のdoubleで書けないような数が与えられると、自動的にそれを包含する区間として扱います。初期値のうちどれか一つでも区間になるような場合は、
1 1.1 nのように後に「n」を補わなければなりません。「j」でもいいのですが、相対誤差の表示に影響するだけで、計算そのものには影響しません。しかし、初期値が区間になる場合はnかjのどちらかを書く必要があります。
1e-16 1e-16それぞれ、1ステップ毎に許容される絶対誤差、相対誤差を表します。
極めて優秀なアルゴリズムとソフトウェアで、のちに初期値問題の精度保証の研究者はなかなかこれを超えられずに苦労することになります。優れた仕事に対する尊敬の念を込めて、この記事を書きました。
2018/11/18(日)kv-0.4.45
今回はあまり大きな変更はありません。
- 自動微分でpow(x,0)みたいな(あまり意味のない)記述があったときにエラーになっていたバグを直した。
- Krawczyk法での非線形方程式の精度保証で、1変数の場合のエラーハンドリングに問題があって精度保証失敗時に落ちていたバグの修正。
- DKA法の内部精度をdouble以外にするとコンパイルできなかったバグの修正。